Gegeben sei: f(x) = (x²+px+q)*e^-x
Beweise, dass wenn p²<4q-4 gilt, die Funktion keine Extrema hat.
Mich hat die Sache ja immernoch nicht in Ruhe gelassen. Kam vorhin auf folgende Idee:
q ist ja p², weil (a+b)² = a² + 2ab + b², darauf folgt:
(x²+px+4q-4)*e^-x --> (x²+px+4p²-4)*e^-x
1. Ableitung für Extrema:
(2x+p)*e^-x + (x²+px+4p²-4)*(-1)e^-x
-->
e^-x*(2x+p-x²-px-4p²+4) --> e^-x*(-x²-px+2x-4p²+p+4)
e^-x kann nie 0 werden, also schauen wir nur die Klammer an:
-x²-px+2x-4p²+p+4 |*(-1)
x²+px-2x+4p²-p-4
pq-Formel:
-((px-2x)/2) +/- sqrt(((px-2x)/2)²-(4p²-p-4))
(-px+2x)/2 +/- sqrt((p²x²-4x²)/4-(4p²-p-4))
(-px+2x)/2 +/-
(px-2x)/2 + sqrt(-4p²+p+4)
bleibt nur noch:
sqrt(-4p²+p+4)
-2p+2+sqrt(p)
Wenn das jetzt also 0 ergibt, dann haben wir ein Extrema!
0=-2p+2+sqrt(p) |²
0=4p²+p+4
Das kann auch 0 ergeben, aber dennoch kriege ich ja den Bogen nicht zu dem Beweis!

Deswegen ist nun folgendes in meinem Kopf:
Sorry, falls ich damit nerve. Aber die Ferien sind noch so lange und ich will die Lösung!